动态规划

表达式匹配

leetcode 10.正则表达式匹配

给你一个字符串 s 和一个字符规律 p，请你来实现一个支持 ‘.’ 和 ‘*’ 的正则表达式匹配。

‘.’ 匹配任意单个字符
‘*’ 匹配零个或多个前面的那一个元素
所谓匹配，是要涵盖 整个 字符串 s的，而不是部分字符串。

说明:

• s 可能为空，且只包含从 a-z 的小写字母。
• p 可能为空，且只包含从 a-z 的小写字母，以及字符 . 和 *。

  class Solution {
      // 1.如果 p.charAt(j) == s.charAt(i) : dp[i][j] = dp[i-1][j-1]；
      // 2.如果 p.charAt(j) == '.' : dp[i][j] = dp[i-1][j-1]；
      // 3.如果 p.charAt(j) == '*'：
      // 3.1如果 p.charAt(j-1) != s.charAt(i) : dp[i][j] = dp[i][j-2] //in this case, a* only counts as empty
      // 3.2如果 p.charAt(i-1) == s.charAt(i) or p.charAt(i-1) == '.'：
      // dp[i][j] = dp[i-1][j] //in this case, a* counts as multiple a
      // or dp[i][j] = dp[i][j-1] // in this case, a* counts as single a
      // or dp[i][j] = dp[i][j-2] // in this case, a* counts as empty
      public boolean isMatch(String s, String p) {
          if (s == null || p == null) {
              return false;
          }
          boolean[][] dp = new boolean[s.length() + 1][p.length() + 1];
          dp[0][0] = true;
          for (int i = 1; i <= p.length(); i++) {
              if (p.charAt(i - 1) == '*' && dp[0][i - 2]) {
                  dp[0][i] = true;
              }
          }
          for (int i = 1; i <= s.length(); i++) {
              for (int j = 1; j <= p.length(); j++) {
                  if (p.charAt(j - 1) == '.' || p.charAt(j - 1) == s.charAt(i - 1)) {
                      dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                  }
                  if (p.charAt(j - 1) == '*') {
                      if (p.charAt(j - 2) != s.charAt(i - 1) && p.charAt(j - 2) != '.') {
                          dp[i][j] = dp[i][j - 2];
                      } else {
                          dp[i][j] = (dp[i][j - 1] || dp[i - 1][j] || dp[i][j - 2]);
                      }
                  }
              }
          }
          return dp[s.length()][p.length()];
      }
  }

leetcode 44.通配符匹配

给定一个字符串 (s) 和一个字符模式 (p) ，实现一个支持 ‘?’ 和 ‘*’ 的通配符匹配。

‘?’ 可以匹配任何单个字符。
‘*’ 可以匹配任意字符串（包括空字符串）。
两个字符串完全匹配才算匹配成功。

说明:

• s 可能为空，且只包含从 a-z 的小写字母。
• p 可能为空，且只包含从 a-z 的小写字母，以及字符 ? 和 *。

class Solution {
    // 状态 dp[i][j] : 表示 s 的前 i 个字符和 p 的前 j 个字符是否匹配 (true 的话表示匹配)
    // 状态转移方程：
    // 1. 当 s[i] == p[j]，或者 p[j] == ? 那么 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
    // 2. 当 p[j] == * 那么 dp[i][j] = dp[i][j - 1] || dp[i - 1][j]    其中：
    // dp[i][j - 1] 表示 * 代表的是空字符，例如 ab, ab*
    // dp[i - 1][j] 表示 * 代表的是非空字符，例如 abcd, ab*
    public boolean isMatch(String s, String p) {
        int m = s.length();
        int n = p.length();

        // 状态 dp[i][j] : 表示 s 的前 i 个字符和 p 的前 j 个字符是否匹配
        boolean[][] dp = new boolean[m + 1][n + 1];

        // 初始化
        dp[0][0] = true;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            dp[0][i] = dp[0][i - 1] && p.charAt(i - 1) == '*';
        }

        // 状态转移
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if (s.charAt(i - 1) == p.charAt(j - 1) || p.charAt(j - 1) == '?') {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                } else if (p.charAt(j - 1) == '*') {
                    dp[i][j] = dp[i][j - 1] || dp[i - 1][j];
                }
            }
        }

        // 返回结果
        return dp[m][n];

    }
}

连续子数组和、积最值问题

leetcode 53. 最大子序和

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例:

输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。
进阶:

如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的分治法求解。

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int dp[] = new int[nums.length + 1];
        dp[0] = 0;
        int max = Integer.MIN_VALUE;
        for (int i = 1; i <= nums.length; i++) {
            dp[i] = Math.max(dp[i-1] + nums[i-1], nums[i-1]);
            // dp[i] = nums[i-1] + (dp[i - 1] > 0 ? dp[i - 1] : 0);
            max = Math.max(dp[i], max);
        }
        return max;
    }

}

leetcode 152. 乘积最大子数组

给你一个整数数组 nums ，请你找出数组中乘积最大的连续子数组（该子数组中至少包含一个数字），并返回该子数组所对应的乘积。

class Solution {
    public int maxProduct(int[] A) {
        // store the result that is the max we have found so far
        int r = Integer.MIN_VALUE;
        int imax = 1;
        int imin = 1;

        // imax/imin stores the max/min product of
        // subarray that ends with the current number A[i]
        for (int i = 0; i < A.length; i++) {
            // multiplied by a negative makes big number smaller, small number bigger
            // so we redefine the extremums by swapping them
            if (A[i] < 0) {
                int tmp = imax;
                imax = imin;
                imin = tmp;
            }
            // max/min product for the current number is either the current number itself
            // or the max/min by the previous number times the current one
            imax = Math.max(A[i], imax * A[i]);
            imin = Math.min(A[i], imin * A[i]);

            // the newly computed max value is a candidate for our global result
            r = Math.max(r, imax);
        }
        return r;
    }

    public int maxProduct(int[] A) {
        int r = Integer.MIN_VALUE;
        int[] dpMax = new int[A.length + 1];
        dpMax[0] = 1;
        int[] dpMin = new int[A.length + 1];
        dpMin[0] = 1;
        
        for (int i = 1; i <= A.length; i++) {
            
            if (A[i-1] < 0) {
                int tmp = dpMax[i-1];
                dpMax[i-1] = dpMin[i-1];
                dpMin[i-1] = tmp;
            }
            
            dpMax[i] = Math.max(A[i-1],dpMax[i-1]*A[i-1]);
            dpMin[i] = Math.min(A[i-1],dpMin[i-1]*A[i-1]);

            r = Math.max(r, dpMax[i]);
        }
        return r;
    }
}

leetcode 300. 最长上升子序列

给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。

示例:

输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。
说明:

可能会有多种最长上升子序列的组合，你只需要输出对应的长度即可。
你算法的时间复杂度应该为 O(n2) 。
进阶: 你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log n) 吗?

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int[] dp = new int[nums.length+1];
        // base case：dp 数组全都初始化为 1
        Arrays.fill(dp, 1);
        int res = 0;
        for (int i = 1; i <= nums.length; i++) {
            for (int j = 1; j < i; j++) {
                if (nums[i-1] > nums[j-1]) 
                    dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
            res = Math.max(res, dp[i]);
        }
        return res;
    }


    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int[] tails = new int[nums.length];
        int size = 0;
        for (int x : nums) {
            int i = 0, j = size;
            while (i != j) {
                int m = (i + j) / 2;
                if (tails[m] < x)
                    i = m + 1;
                else
                    j = m;
            }
            tails[i] = x;
            if (i == size) ++size;
        }
        return size;
    }
}

背包问题

0-1 背包问题

给你一个可装载重量为 totalWeight 的背包和 N 个物品，每个物品有重量和价值两个属性。其中第 i 个物品的重量为 wt[i]，价值为 val[i]，现在让你用这个背包装物品，最多能装的价值是多少？

N = 3, totalWeight = 4
weight = [2, 1, 3]
value = [4, 2, 3]

/**
 * dp[3][5] = 6，其含义为：对于给定的一系列物品中，若只对前 3 个物品进行选择，当背包容量为 5 时，最多可以装下的价值为 6。
 */
int knapsack(int totalWeight, int[] weight, int[] value) {
  // base case 已初始化
  int[][] dp = new int[totalWeight + 1][totalWeight + 1];
  for (int i = 1; i <= weight.length; i++) {
    for (int w = 1; w <= totalWeight; w++) {
      if (w - weight[i - 1] < 0) {
        // 这种情况下只能选择不装入背包
        dp[i][w] = dp[i - 1][w];
      } else {
        // 装入或者不装入背包，择优
        dp[i][w] = Math.max(dp[i - 1][w - weight[i - 1]] + value[i - 1], dp[i - 1][w]);
      }
    }
  }
  return dp[weight.length][totalWeight];
}

leetcode 416. 分割等和子集

给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

注意:

每个数组中的元素不会超过 100
数组的大小不会超过 200

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        int sum = 0;
        
        for (int num : nums) {
            sum += num;
        }
        
        if (sum % 2 != 0) {
            return false;
        }
        sum /= 2;

        int n = nums.length;
        boolean[][] dp = new boolean[n+1][sum+1];

        // base case
        for (int i = 0; i <= n; i++)
            dp[i][0] = true;

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= sum; j++) {
                if (j - nums[i - 1] < 0) {
                // 背包容量不足，不能装入第 i 个物品
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 
                } else {
                    // 装入或不装入背包
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] | dp[i - 1][j-nums[i-1]];
                }
            }
        }
    
        return dp[n][sum];
    }
}

leetcode 518. 零钱兑换 II

给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
        int n = coins.length;
        int[][] dp = new int[coins.length+1][amount+1];
        // base case
        for (int i = 0; i <= n; i++) 
            dp[i][0] = 1;
        
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= amount; j++) {
                if (j - coins[i-1] >= 0)
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - coins[i-1]];
                else 
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            }
        }
        return dp[n][amount];
    }

}

股票问题

状态转移方程

dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
              max(   选择 rest  ,             选择 sell      )

解释：今天我没有持有股票，有两种可能：
要么是我昨天就没有持有，然后今天选择 rest，所以我今天还是没有持有；
要么是我昨天持有股票，但是今天我 sell 了，所以我今天没有持有股票了。

dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])
              max(   选择 rest  ,           选择 buy         )

解释：今天我持有着股票，有两种可能：
要么我昨天就持有着股票，然后今天选择 rest，所以我今天还持有着股票；
要么我昨天本没有持有，但今天我选择 buy，所以今天我就持有股票了。

leetcode 121. 买卖股票的最佳时机

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。
如果你最多只允许完成一笔交易（即买入和卖出一支股票一次），设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。
注意：你不能在买入股票前卖出股票。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int n = prices.length;
        int[][] dp = new int[n+1][2];
        dp[0][0] = 0; 
        dp[0][1] = Integer.MIN_VALUE;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i-1]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], -prices[i-1]);
        }
        return dp[n][0];
    }
}

leetcode 122. 买卖股票的最佳时机 II

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int n = prices.length;
        int[][] dp = new int[n+1][2];
        dp[0][0] = 0; 
        dp[0][1] = Integer.MIN_VALUE;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i-1]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i-1]);
        }
        return dp[n][0];
    }
}

leetcode 123. 买卖股票的最佳时机 III

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int n = prices.length;
        int max_k = 2;
        int[][][] dp = new int[n+1][max_k + 1][2];
        
        dp[0][1][0] = 0; 
        dp[0][1][1] = Integer.MIN_VALUE;
        dp[0][2][0] = 0; 
        dp[0][2][1] = Integer.MIN_VALUE;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int k = max_k; k >= 1; k--) {
                dp[i][k][0] = Math.max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i-1]);
                dp[i][k][1] = Math.max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i-1]);
            }
        }
        // 穷举了 n × max_k × 2 个状态，正确。
        return dp[n][max_k][0];
    }
}

leetcode 188. 买卖股票的最佳时机 IV

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。
注意: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

class Solution {
    public int maxProfit(int max_k, int[] prices) {
        int n = prices.length;
        if (max_k > n / 2) {
            return maxProfit_k_inf(prices);
        }
        int[][][] dp = new int[n+1][max_k + 1][2];
        //base case
        for(int k = 1;k <= max_k; k++){
            dp[0][k][0] = 0; 
            dp[0][k][1] = Integer.MIN_VALUE;
        }

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int k = max_k; k >= 1; k--) {
                dp[i][k][0] = Math.max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i-1]);
                dp[i][k][1] = Math.max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i-1]);
            }
        }
        // 穷举了 n × max_k × 2 个状态，正确。
        return dp[n][max_k][0];
    }

    public int maxProfit_k_inf(int[] prices) {
        int n = prices.length;
        int[][] dp = new int[n+1][2];
        dp[0][0] = 0; 
        dp[0][1] = Integer.MIN_VALUE;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i-1]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i-1]);
        }
        return dp[n][0];
    }
}

leetcode 309. 最佳买卖股票时机含冷冻期

给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。​

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

• 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
• 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int n = prices.length;
        int[][] dp = new int[n+1][2];
        dp[0][0] = 0; 
        dp[0][1] = Integer.MIN_VALUE;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i-1]);
            if(i == 1){
                dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], - prices[i-1]);
            } else {
                dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-2][0] - prices[i-1]);
            }
            
        }
        return dp[n][0];
    }
}

leetcode 714. 买卖股票的最佳时机含手续费

给定一个整数数组 prices，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 ；非负整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
        int n = prices.length;
        int[][] dp = new int[n+1][2];
        dp[0][0] = 0; 
        dp[0][1] = Integer.MIN_VALUE;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i-1]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i-1] - fee);
        }
        return dp[n][0];
    }
}