时间复杂度

大 O 复杂度表示法

大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。

时间复杂度分析

只关注循环执行次数最多的一段代码

int cal(int n) {
  int sum = 0;
  int i = 1;
  for (; i <= n; ++i) {
    sum = sum + i;
  }
  return sum;
}

O(n)。

加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

int cal(int n) {
   int sum_1 = 0;
   int p = 1;
   for (; p < 100; ++p) {
     sum_1 = sum_1 + p;
   }
 
   int sum_2 = 0;
   int q = 1;
   for (; q < n; ++q) {
     sum_2 = sum_2 + q;
   }
 
   int sum_3 = 0;
   int i = 1;
   int j = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     j = 1; 
     for (; j <= n; ++j) {
       sum_3 = sum_3 +  i * j;
     }
   }
 
   return sum_1 + sum_2 + sum_3;
 }

O(n2)

乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

int cal(int n) {
   int ret = 0; 
   int i = 1;
   for (; i < n; ++i) {
     ret = ret + f(i);
   } 
 } 
 
 int f(int n) {
  int sum = 0;
  int i = 1;
  for (; i < n; ++i) {
    sum = sum + i;
  } 
  return sum;
 }

O(n2)。

几种常见时间复杂度实例分析

O(1)

int i = 8;
int j = 6;
int sum = i + j;

O(logn)、O(nlogn)

i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 2;
 }

O(log2n)。

i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 3;
 }

O(log3n)。

实际上，不管是以 2 为底、以 3 为底，还是以 10 为底，我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)。为什么呢？

我们知道，对数之间是可以互相转换的，log3n 就等于 log32 * log2n，所以 O(log3n) = O(C * log2n)，其中 C=log32 是一个常量。基于我们前面的一个理论：在采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以，O(log2n) 就等于 O(log3n)。因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为 O(logn)。

O(m+n)、O(m*n)

int cal(int m, int n) {
  int sum_1 = 0;
  int i = 1;
  for (; i < m; ++i) {
    sum_1 = sum_1 + i;
  }
 
  int sum_2 = 0;
  int j = 1;
  for (; j < n; ++j) {
    sum_2 = sum_2 + j;
  }
 
  return sum_1 + sum_2;
}

O(m+n)。

空间复杂度分析

void print(int n) {
  int i = 0;
  int[] a = new int[n];
  for (i; i <n; ++i) {
    a[i] = i * i;
  }
 
  for (i = n-1; i >= 0; --i) {
    print out a[i]
  }
}

O(n)

内容小结
复杂度也叫渐进复杂度，包括时间复杂度和空间复杂度，用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系，可以粗略地表示，越高阶复杂度的算法，执行效率越低。常见的复杂度并不多，从低阶到高阶有：O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n2 )。

浅析最好、最坏、平均、均摊时间复杂度

最好、最坏情况时间复杂度、平均情况时间复杂度

// n 表示数组 array 的长度
int find(int[] array, int n, int x) {
  int i = 0;
  int pos = -1;
  for (; i < n; ++i) {
    if (array[i] == x) pos = i;
  }
  return pos;
}

O(n)

// n 表示数组 array 的长度
int find(int[] array, int n, int x) {
  int i = 0;
  int pos = -1;
  for (; i < n; ++i) {
    if (array[i] == x) {
       pos = i;
       break;
    }
  }
  return pos;
}

最好o(1)、最坏o(n)、平均o(n)

均摊时间复杂度

// array 表示一个长度为 n 的数组
 // 代码中的 array.length 就等于 n
 int[] array = new int[n];
 int count = 0;
 
 void insert(int val) {
    if (count == array.length) {
       int sum = 0;
       for (int i = 0; i < array.length; ++i) {
          sum = sum + array[i];
       }
       array[0] = sum;
       count = 1;
    }
 
    array[count] = val;
    ++count;
 }

o(1)
课后思考

// 全局变量，大小为 10 的数组 array，长度 len，下标 i。
int array[] = new int[10]; 
int len = 10;
int i = 0;
 
// 往数组中添加一个元素
void add(int element) {
   if (i >= len) { // 数组空间不够了
     // 重新申请一个 2 倍大小的数组空间
     int new_array[] = new int[len*2];
     // 把原来 array 数组中的数据依次 copy 到 new_array
     for (int j = 0; j < len; ++j) {
       new_array[j] = array[j];
     }
     // new_array 复制给 array，array 现在大小就是 2 倍 len 了
     array = new_array;
     len = 2 * len;
   }
   // 将 element 放到下标为 i 的位置，下标 i 加一
   array[i] = element;
   ++i;
}

o(1)

油管 Ravindrababu Ravula 时间复杂度

O(n)

public void timeComplex1(int n) {
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    System.out.println("time complex");
  }
}

O(n^2)

public void timeComplex2(int n) {
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
      System.out.println("time complex");
    }
  }
}

o(sqrt(n))

public void timeComplex3(int n) {
  int sum = 0;
  for (int i = 1; sum <= n; i++) {
    sum = sum + i;
    System.out.println("time complex");
  }
}

i	sum	n
1	1	n
2	2+1	n
3	3+2+1	n
4	4+3+2+1	n
k	k+(K-1)+(K-2)+…+3+2+1	n
k	k(k-1)/2	n

推导k与n的关系
k(k-1)/2 = n
计算时间复杂度
o(sqrt(n))

public void timeComplex4(int n) {
  for (int i = 1; i * i <= n; i++) {
    System.out.println("time complex");
  }
}

i	i * i	n
1	1 *1	n
2	2*2	n
3	3*3	n
k	k*k	n

推导k与n的关系
k*k = n
计算时间复杂度
o(sqrt(n))

O(n^2)

public void timeComplex5(int n) {
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= i; j++) {
      for (int k = 1; k <= 100; k++) {
        System.out.println("time complex");
      }
    }
  }
}

i	执行次数
1	1*100
2	2*100
3	3*100
n	n*100

推导总执行次数
1100+2100+3100+4100+…+n100 = 100(n(n-1))/2
计算时间复杂度
o(n^2)

o(n^4)

public void timeComplex6(int n) {
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= i * i; j++) {
      for (int k = 1; k <= n / 2; k++) {
        System.out.println("time complex");
      }
    }
  }
}

i	执行次数
1	1*(n/2)
2	22(n/2)
3	33(n/2)
n	nn(n/2)

推导总执行次数
1(n/2)+2*2(n/2)+33(n/2)+…+nn(n/2) = (1+22+33+44+…+n*n)(n/2) = (1/6)n(n+1)(n+2)(n/2)
计算时间复杂度
o(n^4)

O(log(n))

public void timeComplex7(int n) {
  for (int i = 1; i <= n; i = i * 2) {
    System.out.println("time complex");
  }
}

k	i	n
1	2	n
2	2*2	n
3	222	n
k	2^k	n

推导k与n关系
2^k = n
计算时间复杂度
o(log(n))

public void timeComplex10(int n) {
  while (n > 1) {
    n = n / 2;
  }
}

推导k与n关系n = 2^k
计算时间复杂度
o(log(n))

O((n^2)log(n))

public void timeComplex8(int n) {
  for (int i = n / 2; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= n / 2; j++) {
      for (int k = 1; k <= n; k = k * 2) {
        System.out.println("time complex");
      }
    }
  }
}

O(n(log(n)^2))

public void timeComplex9(int n) {
  for (int i = n / 2; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= n; j = 2 * j) {
      for (int k = 1; k <= n; k = k * 2) {
        System.out.println("time complex");
      }
    }
  }
}

O(nlog(n))

public void timeComplex11(int n) {
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= n; j = j + i) {
      System.out.println("time complex");
    }
  }
}

i	执行次数
1	n
2	n/2
3	n/3
n	n/n

推导总执行次数
n+n/2+n/3+…+n/n=n(1+1/2+1/3+…+1/n)
计算时间复杂度
o(nlog(n))

O(nlog(log(n)))

public void timeComplex12(int k) {
  int n = 2 << (2 << k);
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 2; j <= n; j = j * j) {
      System.out.println("time complex");
    }
  }
}

k	执行次数
1	n*2
2	n*4
3	n*8
k	n*k

k = log2(log2(n))
计算时间复杂度
o(nlog(log(n)))